Los “caminos naturales” suelen tener estas señales, fíjate en el Logo:
Parece que el mantenimiento y gestión de este tipo de rutas, pertenece al Ministerio de Agricultura (operator=...).
Las vías verdes, se supone que eran antiguos caminos de ferrocarril reconvertidos, creo que en españa se han incluído todas las de la página que señalas (versión nueva: https://viasverdes.com/), pero la titularidad de ellas yo no sé en quién recae, según la web nueva es “Fundación de los Ferrocarriles Españoles”.
UPDATE acabo de leer lo siguiente:
VÍA VERDE © es una marca registrada desde 1994 por la Fundación de los Ferrocarriles Españoles en la Oficina Española de Patentes y Marcas. Su uso está legalmente restringido a los itinerarios que discurren sobre antiguas infraestructuras ferroviarias.