UTM Rechtswert

Communities Deutschland (Germany)
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Ich hab mir folgendes angeguckt:
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Longitude_%28PSF%29.png&filetimestamp=20071204205703
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Latitude_%28PSF%29.png&filetimestamp=20071206184415

Wenn ich beim Equator bin und Breitengrad = 90 ° habe, dann ist es 10007,5428 km entfernt

(a) Stelle Dich auf den Aequator um 90 Grad vom Nullmeridian weg.
Spanne in Gedanken eine Schnur auf dem Aequator zum Nullmeridian.
Die liegt auf einer Geodaete, daher erhaelst Du so den
kuerzesten Weg = Abstand = ein Viertel des Erdumfanges.

Logisch 1/4, da man vom Nullmeridian 90° entfernt ist

(b) Nun gehe auf dem Laengengrad ganz nah an den Pol.
Der Abstand zum Nullmeridian geht dabei gegen Null.
Da sich der Laengengrad dabei nicht aendert, aendert sich aber auch x nicht.

ok. Also wenn ich auf dem Nullmeridian des Längengrad und beim Equator stehe “Breitengrad”,
ist die Entfernung also x am größten zum nächsten Längengrad.

Gehe ich immer weiter richtung Pol, dann wird x immer kleiner, aber der Längengrad bleibt erhalten.

Jetzt muss ich erstmal den Umfang der Erde ermitteln.

Der Erdradius ist 6371000 m

Wie ist jetzt der Erdumfang?
U = Pi * 2 * r
U = Pi * 2 * 6371000 m
U = 40030173,5463 m

Also der Umfang ist 40030173,5463 m
Jetzt weiss man ja, dass es 180 ° in Ostrichtung und 180° in Westrichtung gibt. Gesamt also 360° Breitengrade
40030173,5463 m/ 360° = 111194,9265175 m = 111,19492… km

1 ° Längengradabstand entspricht 111194,9265175 m am Equator

Am Nord bzw Südpol, beträgt dieser Abstand, von einem zum nächsten Längengrad= 0 m

Da aber der Breitengrad in 90 ° nach Nord u. Süd aufgeteilt wird, kann man doch folgendes machen:

111194,9265175/ 90° = 1235,4991835277777777777777777778 m

Jetzt wissen wir, dass der Längengradabstand beim Equator “Breitengrad = 0°” zum nächsten Längengrad 111194,9265175 m entspricht.
Zudem wissen wir, dass der Längengradabstand beim z.b fast beim Nordpol “Breitengrad = 89°” = 1235,4991835277777777777777777778 m entspricht.
Bei Breitengrad 90°, wären es exakt 0 m vom einen zum nächsten Längengrad.

Also hab ich nach meiner Erkenntnis jetzt folgende Formel:

x = Pi * 2 * Erdradius / 360 / 90 * Breitengrad

Beispiel:
x = Pi * 2 * 6371000 /360/90 * Breitengrad
x = 40030173,5463/360/90 * Breitengrad
x = 111194,9265175/90 * Breitengrad
x = 1235,4991835277777777777777777778 * Breitengrad

Wenn ich jetzt den Breitengrad für Pfungstadt eingebe, also:
Breitengrad = 49,794829

bekomme ich x = 61521,470573405311194444444444406 m = 61,521470… km
Der Längengrad zum nächstenLängengrad bleibt der selbe, aber bei gegebener Breite beträgt der Abstand nur noch 61,521470 km

Dieser x Wert, muss jetzt * Längengrad genommen werden, da es auf der gleichen Ebene liegt.
Längengrad = 8,607150000000001
Also:
x = 61521,470573405311194444444444406 * Längengrad
x = 61521,470573405311194444444444406 * 8,607150000000001
x = 529524,52544588558576873307340493
x = 529,524 km zum Nullmeridian

Wenn ich jetzt den Breitengrad von Regenstauf nehme:
Breitengrad = 49,12

bekomme ich x = 60687,719894884444444444444444406 m = 60,687 …km

Längengrad = 12.139722222222222
x = 60687,71989488444444444444444440 * Längengrad
x = 60687,71989488444444444444444440 * 12,139722222222222
x = 736732,06182392634083482767767946 m
x = 736,732 km zum Nullmeridian

Das zur komischen Erde :open_mouth:

Vollständige Formel wäre also:
x = Erdumfang/360/90 * Breitengrad * Längengrad

Bringen tut mir dieser x Wert aber nichts, niente, ziro

Ich kick den Ball vom Balkon hehe

Werde dann noch Bilder online stellen, denn so ist es schwer nachzuvollziehen
Hier die Bilder:
http://andybos.an.funpic.de/Erde.PNG

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Meinem Vorstellungsvermögen nach, kann das niemals stimmen. Das geht, wenn die Erde ein Objekt aus 2 Kegeln wäre, aber nicht, wenn die Erde eine Kugel/Ellipsoid/Geoid ist. Du interpolierst den Abstand linear, nicht trigonometrisch. Da muss noch irgendwo ein cos dazu, ich denke beim Breitengrad.

Abstand zum Nullmeridian am Äquator: (U=Erdumfang)
x = Längengrad / 360° * U
Abstand zum Nullmeridian an Breitengrad:
x = Längengrad / 360° * U * cos(Breitengrad/180°*pi)

→ Das stimmt so. Deine Berechnung des Erdumfangs bei einem Breitengrad erfolgte Linear, sie müsste aber per cos erfolgen, da die Erde wie oben schon geschrieben, nicht aus 2 Kegeln zusammengesetzt ist.

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Man muss hier langsam vorsichtig werden, denn zwei Dinge werden relevant: (a) Eine mathematische Groesse korrekt ausrechnen (b) die Bedeutung dieser Groesse richtig verstehen.

Ad (a) @Andy, wenn Du den Ball/Globus noch nicht vom Balkon geworfen hast, pruefe doch mal folgendes:

(a.1) Jeder Breitenkreis ist, wie der Name schon sagt, ein Kreis. Wenn Du seinen Radius kennst, kannst Du die Laenge des Weges ausrechnen, den Du zuruecklegst, wenn Du auf diesem Kreis vom Laengengrad laengengrad1 zum Nullmeridian laengengrad0 laeufst. Die Formel hast Du selbst schon mehrmals aufgeschrieben:

Weglaenge = (laengengrad1 - laengengrad0) * Radius,

wobei die Laengengrade in Radiant zu verwenden sind. Auf dem Aequator ist R der Erdradius. Zum Pol hin werden die Kreise immer kleiner, jedoch nimmt der Radius nicht linear ab, wie wohl von Dir angenommen, sondern gemaess der Cosinus-Funktion, wie von E-Malte schon gesagt. Man hat also

R = Erdradius * cos(Breitengrad).

Damit also

Weglaenge = (laengengrad1 - laengengrad0) * Erdradius * cos(Breitengrad).

Das gilt fuer eine Kugel.

(a.2) Nun gehen wir zu einem Rotationsellipsoiden ueber. Das ganze heisst Rotationsellipsiod, kommt also von Rotation und deshalb (genau deshalb) sind auch auf einem Rotationsellipsioden die Breitenkreise immer noch Kreise. Es gilt also immer noch

Weglaenge = (laengengrad1 - laengengrad0) * Radius.

Allerdings ist die Formel fuer den Radius R nun komplizierter. Wenn Du einen Fussball platt drueckst, siehst Du, dass der Radius der Breitenkreise langsamer kleiner wird, als auf der Kugel, wenn Du vom Aequator zum Pol gehst. R muss also langsamer gegen Null gehen. Auf dem Rotationsellipsioden gilt:

R = Erdradius * cos(Breitengrad) * (1 - e^2 * sin^2(Breitengrad))^(-1/2)

Im Gegensatz zur Kugel taucht hier also der zusaetzliche Faktor (1 - e^2 * sin^2(Breite))^(-1/2) auf. In Worten: Eins geteilt durch die Quadratwurzel von (1 - e^2 * sin^2(Breite)). Der zusaetzliche Faktor ist also groesser als eins. Der Parameter e ist ein Mass dafuer, wie stark Du den Fussball zusammendrueckst. Drueckst Du ihn gar nicht zusammen, ist e = 0 und Du hat wieder die Formel der Kugel… Je staerker Du ihn zusammen drueckst, umso groesser wird e.

Damit gilt auf dem Rotationsellipsoiden:

Weglaenge = (laengengrad1 - laengengrad0) * Erdradius * cos(Breitengrad) * (1 - e^2 * sin^2(Breitengrad))^(-1/2)

Das hatte ich weiter oben schon einmal angegeben.

Ad (b) Nun haben wir zwar was ausgerechnet, doch der schwierigere Teil steht noch vor uns: zu verstehen(!!!), was wir ausgerechnet haben.

(b.1) Ich hatte oben gesagt, dass auf dem abgeplatteten Ellipsoiden der Radius des Breitenkreises langsamer gegen Null geht. Wenn man einen Querschnitt auf Papier malt, koennte man an schneller denken… Ups!?

Dazu muss man zunaechst genau verstehen, wie der Breitengrad definiert ist:

Man koennte zum einen eine Linie zeichnen, die vom Zentrum des Kreises/Ellipsoiden ausgeht, einen Winkel von P Grad zur Aequatorialebene hat und den Radius R als Funktion des Winkels P ausrechnen. Dann sollte R (als Funktion von P) auf dem abgeplatteten Ellipsoden in der Tat schneller gegen Null gehen, als auf der Kugel.

Der Winkel P ist aber nicht der Breitengrad. Der Breitengrad ist so definiert, dass man das Lot auf den Kreis/Ellipsoiden faellt, und den Winkel dieses Lotes zur Aequatorialebene ermittelt. Auf dem Kreis/der Kugel stimmen beide Winkel ueberein, auf der Ellipse/dem Ellipsoiden nicht mehr. (Noch alles klar?)

(b.2) Nun haben wir also auf einem Ellipsoiden eine Weglaenge ausgerechnet. Sie entspricht der Laenge L1 aus meinen frueheren Beitrag. Doch was bedeutet sie? Kann diese Groesse ueberhaupt als Abstand eines Punktes zum Nullmeridian interpretiert werden?

Nun, mein ganzer Post #12 versucht zu begruenden, dass das leider nicht so ist! Schade auch…

Was ein Abstand auf einer gekruemmten Flaeche ist, und wie kompliziert seine Berechnung schnell werden kann, kannst Du vielleicht folgendem Artikel entnehmen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Orthodrome

Dort gibt es weiter unten auch eine Formel fuer den Abstand auf einem Ellipsoiden. Diese Formel ist aber nicht exakt. Denn verschiedene Groessen koennen auf dem Rotationsellipsioden nicht mehr alleine durch trigonometrische Funktionen ausgedrueckt werden, sondern nur noch durch sogenannte Elliptische Integrale (http://de.wikipedia.org/wiki/Elliptisches_Integral). Da die Erde aber nur sehr wenig abgeplattet ist, kann man viele Groessen als Potenz der Abplattung entwickeln. Die auf http://de.wikipedia.org/wiki/Orthodrome angegebene Formel ist so eine Naeherung zur ersten Potenz der Groesse f. Dabei ist e^2 = 1 - (1-f)^2. Durch die Entwicklung nach Potenzen von f verschwinden die elliptischen Integrale und die einzelnen Summanden dieser Reihe koennen wieder durch trigonometrische Funktionen ausgedrueckt werden.

@Andy: das war jetzt ein Schnelldurchgang von recht einfach zu sehr kompliziert. Lass Dich bitte nicht abschrecken, wenn Dein Kopf nun anfaengt zu rauchen. Das liegt nicht an Dir, die Materie ist einfach etwas komplexer. Ohne fundierte mathematische Kenntniss kann einen das schnell ueberfordern. Es sollte Dich aber nicht entmutigen, sondern eher ermutigen. Du musst aber schon etwas mehr Zeit investieren… :wink:

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Ich erstelle dann in den nächsten Tage mal eine Gif Animation…
Ich denke, dass ich doch richtig denke, aber bisher alles nur falsch anwende.
Die Gif animation sollte dann mein Gedankweg zeigen

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@schlauchboot:

Jetzt wäre der Anwendungszweck interessant. Die Merkaartor-Projektion (auch in der Slippymap benutzt) betrachtet (laut Wikipedia) die Erde als eine Kugel, insofern wäre dann konkret die Nutzung eines Rotationsellipsoids hier überflüssig.

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Naja, der Titel dieses Threads ist immerhin “UTM Rechtswert”, also nix Merkator, auch wenn das M in UTM fuer Merkator steht.

Die Merkator-Projektion also solche betrachtet die Erde sicher nicht als Kugel. Die Slippymap geht dagegen schon von einer Kugel aus.

Wenn Andy wirklich mit UTM-Koordinaten arbeitet (davon hat er jedenfalls bereits in mehreren Beitraegen geschrieben), er den Abstand einer UTM-Koordinate in einem beliebigen Streifen vom Nullmeridian wissen will und er eine entsprechende Genauigkeit braucht, dann spielt der Ellipsoid schon eine Rolle.

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Wikipedia-Quelle

Was nur ein bisschen dabei verwundert, sind der ln bzw später die hyperbolicus-Funktionen.

Kannst du mal eine Größenordnung der Abweichung zwischen Kugel und Ellipsoid angeben?

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Wiegesagt ich gebe mir größte Mühe es zu verstehen

Trotzdem danke an euch

Ok, verstanden, dass es nicht linear sein muss, aber wie muss ich die Formeln von mir abändern.
Ich gehe bei meiner Denkweise davon aus, dass die Erde eine Kugel ist.

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Die Abbildung auf der von Dir zitierten Seite ist die einer Kugel auf die Ebene. Das Auftauchen der Hyperbelfunktionen aendert daran nichts.

Schau mal hier rein: http://pubs.er.usgs.gov/usgspubs/pp/pp1395 (Map Projections – A Working Manual, by John P. Snyder)

Das ist ein (oder sogar das) Standardwerk der Projektionen. Leitet nix her, beschreibt aber so ziemlich alles. Auf Seite 11 steht was dazu, ab wann der Ellipsoid relevant wird.

Die “Groessenordnung der Abweichung zwischen Kugel und Ellipsoid” laesst sich so pauschal schwer angeben. Hinreichend lokal sehen beide schliesslich schon mal wie eine Ebene, also flach aus (zumindest wenn ich aus dem Fenster schaue, bemerke ich keine Kruemmung der Oberflaeche – von Huegeln einmal abgesehen… ;-))

Eine ganz grobe Abschaetzung kann man sich vielleicht folgendermassen ueberlegen: Da die Abplattung klein ist, lassen sich viele Groessen nach Potenzen der Abplattung entwickeln, also e^2 bzw. f. Das gibt aber wohl nur ein Gefuehl fuer den Fehler, denn die Faktoren davor muessen nicht gleich gross sein. f = 1/298,257223563, das entspricht etwa 0,34% – e^2 = 0,00669437999014, das entspricht etwa 0,66%. Den Unterschied zwischen beiden kann man vielleicht als Guete der Abschaetzung interpretieren.

Vielleicht hilft es, wenn Du ein Beispiel konkret ausrechnest, und z.B. die Abstandsformeln fuer Kugel und Ellipsoid vergleichst, die es hier gibt http://de.wikipedia.org/wiki/Orthodrome. Auf dieser Seite gibt es sogar ein konkretes Beispiel, den Abstand Berlin – Tokio. Auf einer Kugel haetten sie einen Abstand von 8918 km, auf dem WGS-84 haben sie einen Abstand von 8941,207 km, also eine Differenz von 23km bzw. etwa 0,26%.

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ich hab echt keine ahnung, dass es nicht linear ist, weiss ich jetzt

pi = 3.14159265

r=6371

U = Pi * 2 * r
breitengrad1 = breitengrad * PI / 180
x = cos(breitengrad1) * r
x = x * (2 PI)/360laengengrad
y= U * (Breitengrad/360)

Stimmt der Radius?

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Dazu zwei Selbsttests:

  1. Behauptung: Wenn ich immer nach Osten gehe und dann irgendwo stehen bleibe, dann bin ich den kürzesten Weg dahin gegangen. (Ist falsch)

2.Behauptung: Wenn ich von 50° Nord, 50° Ost auf kürzestem Weg zum Null-Meridian gehe, dann komme ich bei 50° Nord an. (Ist auch falsch)

Weide

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Ich werde es mir nochmal durch den Kopf gehen lassen.

Cu Andy

Sodelle…Hier der Programmiercode :smiley:

screenres 200,200,32

dim as double laengengrad, breitengrad, pi,r,U,breitengrad1, x,y

laengengrad =8.607150000000001
breitengrad =49.794829

pi = 3.14159265

'Der Radius der Erde
r=6371

'Den Umfang des Laengengrades bestimmen = ist immer gleich dieser Umfang
U = Pi *(r+r)

'Hier den Breitengrad ins Bogenmaß bringen
breitengrad1 = breitengrad * PI / 180

'hiermit habe ich erst einmal den Kosinuswert
x = cos(breitengrad1)
'mit Hilfe des Kosinuswertes, kann ich jetzt den Umfang des Breitengrades berechnen
x = x * (r+r) * Pi
'Anschliessend durch 360 teilen und mal den Laengengrad nehmen.
x = x /360 * laengengrad
print x

'Und hier einen Kreissegment berechnet.
'Kreissegment = Abstand vom Equator zum gegebenen Breitengrad
y= U * (Breitengrad/360)
print y

sleep

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Ich denke mal, dass ich jetzt auf den richtigen Weg liege