Стандартний стиль, який ви використовуєте у себе на сайті є окремим проєктом (GitHub - gravitystorm/openstreetmap-carto: A general-purpose OpenStreetMap mapnik style, in CartoCSS) призначенням якого в першу чергу є демонстрація одного зі способів використання даних ОСМ. І як вже зауважили вище, на загальній мапі важко показати все, так щоб вона не перетворилась на непотріб.
Я бачу що розробники вашого сайту впорались із завданням шляхом додавання кастомного значка поверх фонової мапи 
(Markers With Custom Icons - Leaflet - a JavaScript library for interactive maps).
Якщо ви хочете пійти далі, ви можете розробити власний стиль, на якому будуть потрібні вам обʼєкти. Українська спільнота має кілька базових векторних стилів, які ви можете взяти за основу (https://tile.openstreetmap.org.ua/styles/positron-gl-style/#18.34/49.8264/23.991491 або https://tile.openstreetmap.org.ua/styles/osm-bright/#18.34/49.8264/23.991491). Докладніше про стилі та приклади інших стилів див тут - Open-source map styles – OpenMapTiles.
PS Зауваження щодо адрес.
Поштові адреси додаються будинкам з використанням схеми addr:*=*. Обʼєкти інтересу (Point Of Interest) - POI), як правило мають наслідувати адресу від обʼєктів (будинків) в яких вони знаходяться, повторне додавання теґів addr:*=* призводить до дублювання адрес. У випадку, коли для ПОІ все ж треба додати (контактну) адресу варто використовувати схему contact:*=*. Я вже переробив адресу вашої точки на таку схему. (Proposal:House numbers/Bremen Schema - OpenStreetMap Wiki, Позначення адрес Точок інтересу за допомогою "Bremen Schema" - #4 by andygol)