Ich habe wegen dieser ganzen Diskussion hier und im Changeset auch mal versucht zu recherchieren. Und zwar dort, wo man es (abgesehen vom Gesetzgeber, aber die Aktualität der veröffentlichten Gesetze wurde ja angezweifelt) am besten wissen müsste. Mein Ergebnis:
Zum Naturpark Spessart: Website des Naturpark Spessart e.V.
Ich habe mir auf der Homepage so einiges durchgelesen, auch einige aktuelle Publikationen, z.B. den Jahresbericht 2018 und das Jahresprogramm 2019. Es ist stets die Rede vom Naturpark Spessart und auf Grund der grenzüberschreitenden Zusammenarbeit auch vom Naturpark Hessischer Spessart.
Hin und wieder tauchen mal Begriffe auf wie “bayerischer Spessart” (kleingeschrieben als Beschreibung des bayerischen Teils), manchmal auch “Bayerischer Spessart”, jedoch jeweils ohne “Naturpark” - also lediglich eine Bezeichnung der Region, des Waldgebietes, der geologischen Formation oder des Mittelgebirges. Nicht jedoch als Bezeichnung des Schutzgebietes Naturpark.
Es taucht auch der Begriff auf: “bayerischer Naturpark Spessart” - auch hier ist “bayerischer” kleingeschrieben und nicht Namensbestandteil.
Einen “Naturpark Bayerischer Spessart” konnte ich auf dieser Homepage nicht finden (konnte aber natürlich auch nicht alles lesen).
Auf der Website des Zweckverbandes Naturpark Hessischer Spessart taucht unter dem Link Partner tatsächlich “Naturpark Bayerischer Spessart” auf - meine bislang einzige Fundstelle. Ansonsten ist auch auf den Webseiten des hessischen Spessart eben nur von Naturpark Hessischer Spessart und dem bayerischen Naturpark Spessart die Rede. Ich halte daher die Bezeichnung auf der Partner-Seite für einen bewussten “Fehler” zur besseren Unterscheidung, nicht aber als offizielle Bezeichnung.
Die Website des Dachverbandes Verband Deutscher Naturparke (VDN) kennt zwar die Naturparke Bayerische Röhn und Bayerischer Wald, aber keinen Bayerischen Spessart - sondern nur den Naturpark Spessart (und natürlich den Naturpark Hessischer Spessart).

Zum Naturpark Bergstraße-Odenwald:
Auf der Webseite des Geo-Naturpark Bergstraße-Odenwald zählen die baden-württembergischen Kreise und Kommunen mit dazu.
lt. dem Verband Deutscher Naturparke gehören die Ba-Wü-Teile nicht dazu sondern dieser Teil wird als Naturpark Neckartal-Odenwald separat genannt. Beim Aufruf aller Naturparke im Bundesland Ba-Wü werden aber beide aufgeführt. Einen rein bayerischen Naturpark im Odenwald gibt es nicht. Ergänzung: “gibt es nicht” in Bezug auf die Webeite des VDN, lt. bay. Gesetz von 1982 Gibt es diesen natürlich schon als Naturpark Bayerischer Odenwald. Im Gesetz ist bereits als Träger der Verein “Naturpark Bergstraße-Odenwald e.V.” benannt.
Lt. Webseite des Naturpark Neckartal-Odenwald arbeitet dieser gerade ganz aktuell (Auftaktveranstaltung 25.07.2019) am Naturparkplan 2030. Von einer Auflösung bzw. Zusammenschluss mit dem NP Bergstraße-Odenwald ist da nirgends die Rede. Ich meine aber irgendwo gelesen zu haben, dass es wohl Überschneidungen gibt (zugehörigkeit zu beiden NPs), finde das aber nicht wieder.

Die Situation scheint also recht kompliziert zu sein.

Der Mammi

Edith Ergänzung