Genauigkeiten prüfen

[MiaKai]

Moin,

ich habe als neues Mitglied der OSM Community gleich eine Frage und hoffe, dass mir jemand helfen kann.

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.

In den letzten Wochen habe ich an verschiedenen Tagen Punkte aufgenommen, diese habe ich nun alle addiert und den Mittelwert daraus errechnet.
Im nächsten Schritt habe ich die Differenz ermittelt zwischen den Koordinaten von Festpunkten und den Mittelwerten.

Beispiel:

Aufgenommene Koordinaten:

LATITUDE LONGITUDE ALTITUDE
53,141854 8,199692 43.213.985
53,141804 8,199655 39.640.362
53,141740 8,199570 53.303.951

53,141799 8,199639 (<-- Mittelwerte)

Koordinaten der Festpunkte:

LATITUDE LONGITUDE
53,141798 8,199610

Differenz:

LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029

Die Koordinaten befinden sich im WSG_84 System und sind in Dezimalgrad angegeben.

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?
Kann man das einfach mit den Angaben schon umrechen oder sind weitere Angaben nötig?

Vielleicht kann mir ja jemand helfen und die Rechnung darlegen.

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus,

Grüße Mia

[fx99]

LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029
1,111111111 1,932807053
y/360400000000m x/36040000000COS(53,141799/180PI())

Hier die abgeschätzten Genauigkeitswerte mit den Formeln: /360 grad * Erdumfang

[webpassenger]

Wenn du nur die Entfernung zu deinen Punkten suchst findes du im Internet genug Online Rechner. Z.B den hier oder den hier

Wenn du es wirklich selber berechnen möchtest findes du z.B. hier mehr Informationen. Bei solch kurzen Strecken sollte der Satz des Pythagoras ausreichend sein. Ansonsten wird es ganz schön aufwenig wie ich finde.

[chris66]

@MiaKai

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.

In den letzten Wochen habe ich an verschiedenen Tagen Punkte aufgenommen, diese habe ich nun alle addiert und den Mittelwert daraus errechnet.

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Chris

[Netzwolf]

@MiaKai

Koordinaten der Festpu~nkte:

LATITUDE LONGITUDE
53,141798 8,199610

Differenz:
LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029

Die Koordinaten befinden sich im WSG_84 System und sind in Dezimalgrad angegeben.

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?

Die Distanz in der Breite (Lat) verläuft auf einem Meridian: einem Kreis, der über beide Pole einmal um die Welt führt. Einmal im Kreis herum sind 360°, einmal um die Welt sind ca. 40.000km, also 40.000.000m.

360° ~ 40.000.000m.
  1° ~ 40.000.000m / 360
  x° ~ x * 40.000.000 / 360 = x * 111.111
→
   Dein Y-Abstand ist 111.111m * 0.000001 = 0.1 = 10cm

Die Distanz in der Länge führt auf einem Kleinkreis auf konstantem Abstand zum Äquator um die Erde. Der Weg über den Äquator um die Erde ist so groß wie der über Pole und Meridian (die Abplattung der Erde interessiert bei der hier geforderten Genauigkeit nicht), also 1°~ 40.000.000m / 360 = 111.111m.
Zu den Polen hin werden die Kleinkreise aber kleiner (sieht man unmittelbar, wenn man sich einen Globus vorstellt). Der Faktor ist der Cosinus der Breite:

360° ~ 40.000.000m * cosφ
  1° ~ 40.000.000m / 360 * cosφ
  x° ~ x * 40.000.000 / 360 = x * 111.111 * cosφ
→
  Dein X-Abstand ist 111.111m * 0.000029 * cos 53.1° = 3.22m * cos53.1° = 3.22m * 0.600 = 1.93m

Achtung beim Berechnen des Cosinus: den Winkel kann man in Grad(DEG) oder im Bogenmaß(RAD) angeben. Taschenrechner sind meist umschaltbar. Die meisten Programmiersprachen fordern das Bogenmaß. Dem Winkel 180° entspricht das Bogenmaß π (Pi: 3.1415926…).

Der Gesamtabstand wird anschließend über den Pythagoras berechnet: c²=a²+b² → c=√(a²+b²)

Programmiert wird also etwa so:

abstand (deltaLat, deltaLon, lat) {

     deltaY = 111111 * deltaLat;
     deltaX = 111111 * deltaLon * cos (lat * 3.1415926 / 180.0)

     delta = sqrt (deltaX * deltaX + deltaY * deltaY)
     return delta;
}

Dieser Rechenweg ist der Anschaulichste und bei kleinen Entfernungen genau. Mit nur wenig mehr Aufwand (aber deutlich unanschaulicher durch mehrfache Verwendung von Winkelfunktionen) bekommt man eine Funktion, die bei Vernachlässigung der Erdabplattung quer um die ganze Welt weit unter 1% Fehler liefert. Für wirklich exakte Werte gibt es leider keine geschlossene Darstellung mehr; die brauchen Iterationsverfahren oder Reihenentwicklungen.

Gruß Wolf

[EvanE]

@chris66

@MiaKai

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.
…

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Hallo Chris, Hallo Mia und herzlich willkommen im Forum

Man kann die Ergebnisse auch kurz vorwegnehmen:

• Freies Feld mit guter Rundumsicht → guter Empfang, ca. 3m Genauigkeit
• Schmaler Waldweg an einem Hang → schlechter Empfang (Abschattung
  durch Bäume und Hang) → kein Track gleicht dem anderen.

Erst die Tracks im Vergleich zu einem gut positioniertem Luftbild (z.B. Aerowest) zeigen eine angenäherte ‘Wahrheit’.

Habe so eine GPS-Horrorstrecke vor der Haustür.
Edbert (EvanE)

[kellerma]

@chris66

@MiaKai

Es geht darum, dass ich die Genauigkeiten eines GPS-Gerätes prüfen möchte.

In den letzten Wochen habe ich an verschiedenen Tagen Punkte aufgenommen, diese habe ich nun alle addiert und den Mittelwert daraus errechnet.

Na ja, wenn Du das lange genug machst kommst Du beliebig dicht an den Festpunkt ran, (falls es keinen systematischen Fehler aufgrund von Reflexionen oder so gibt).

Besser geeignet zur Beurteilung der Genauigkeit eines GPS Receivers sind GPS-Track-Vergleiche.

Chris

• GPS tracks kann man nicht “mitteln”, da man nicht weiss, ob man sich bei gleicher Zeit am gleichen Ort befunden hat. Es gehen also nur “stationaere” Punkte.

• JEDES Messgeraet hat neben einen statistischen Fehler auch einen systematischen. Letzgenannter kann auch durch 10000* Wiederholung nicht verkleinern, sondern nur erstgenannter.

• Da die Messgenauigkeit limitiert ist, darf man auch nicht die Anzahl der Stellen, die einem der Taschenrechner/Computer ausgibt, einfach uebernehmen:
  1.Messung 3.0

2. Messung 3.0
3. Messung 4.0
   Mitnichten ist das Ergebnis 3.333333333 (whatever Einheiten).

Die Krux bei der ganzen Messerei ist nun, dass man den systematischen Fehler oftmals nicht mit hinreichender Genauigkeit kennt und daher abschaetzen muss.
Netzwolf schoene Rechnung ist leider voellig fuer die Katz, da schon von falschen Annahmen ausgegangen wird, naemlich die Messwerte laegen in einer “cm-Genauigkeit” vor, was fuer (Consumer-)GPS-geraete voellig illusorisch ist …

[kellerma]

Mein Senf (2. Teil
Dass sich der Mittelwert bei nur 3 Messungen dem wahren Wert annähert (was er tatsächlich bei unendlichfacher Wiederholung tut)
ist nicht sehr wahrscheinlich.
Dass Dein Mittelwert dem Festpunktwert recht nahe liegt, ist relativ zufällig.

Bei der Faustformel “1 Grad entsprechen 100 km” sind 6 Nachkommastellen 10 cm (pi mal daumen).
Diese 10 cm als Genauigkeit halte ich bei den Festpunktwerten durchaus für wahrscheinlich.
Deine dürfte sich eher bei der Differenz der Deiner LAT/LON-Werte (“53,14174 - 53,141854” bzw. “8,199692 - 8,199570”) =~ 10 m abspielen.
So dass man sagen kann, im Rahmen der Messgenauigkeit (10 m) stimmen Messung und Festpunkt überein und
so ich würde in OSM
( 53.1418; 8.1996)
angeben (aber nicht genauer!)

[quasilotte]

Meine Lieblingsseite bei solchen Themen:

http://www.kowoma.de/gps/gpsmonitor2/gpsmonitor2.html

Man beachte auch dort die Seiten über Fehlerquellen und (Genauigkeit und Präzission http://www.kowoma.de/gps/zusatzerklaerungen/Praezision.htm)

[Netzwolf]

Nahmd,

@kellerma

Netzwolf schoene Rechnung ist leider voellig fuer die Katz, da schon von falschen Annahmen ausgegangen wird, naemlich die Messwerte laegen in einer “cm-Genauigkeit” vor, was fuer (Consumer-)GPS-geraete voellig illusorisch ist …

Was ist da für die Katz? Hmpf! Also wirklich! Die Frage war:

@MiaKai

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?
[…]
Vielleicht kann mir ja jemand helfen und die Rechnung darlegen.

Die Entfernung in Metern aus Koordinaten in Grad zu berechnen, ist der erste Schritt. Auf eine Seite, die das rechnet, zu verweisen, ist billig und nicht wirklich nett, insbesonders wenn um die Erklärung des Rechenweges gebeten wurde.

Ich freue mich über jeden, der Dinge selbst verstehen will statt irgendwo einen Knopf zu drücken oder aktuell irgendwas zu wischen. Sonst hätte ich nicht so viel getippert. Wahrscheinlich bin ich da einfach altmodisch.

Die Fehlerrechnung kommt dann als nächstes. Derer haben sich ja bereits genügend angenommen. Wobei man vielleicht noch ergänzen sollte, dass man bei der Ausgleichsrechnung nicht den Mittelwert berechnet, sondern die Methode der kleinsten Fehlerquadrate nutzt. So man das denn kann.

Gruß Wolf

[kellerma]

@Netzwolf

Die Fehlerrechnung kommt dann als nächstes. Derer haben sich ja bereits genügend angenommen. Wobei man vielleicht noch ergänzen sollte, dass man bei der Ausgleichsrechnung nicht den Mittelwert berechnet, sondern die Methode der kleinsten Fehlerquadrate nutzt. So man das denn kann.

Incorrect

Bei der Ausgleichsrechnung mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geht es darum, durch eine Reihe von Messpunkten
eine Funktion zu legen, z. B. eine Ausgleichsgerade.

Hier geht es darum, aus einer “Punktwolke” (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) einen Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.
Es könnte ja jemand auf die Idee kommen, z. B. den Median zu verwenden.

Wir sprechen nicht von z. B. Wärme, die hat eine andere Verteilung (Maxwell).

[MiaKai]

Vielen Dank für die ganzen Antworten!

Insbesondere an Wolf, hat mir wirklich weitergeholfen.

Grüße Mia

[Netzwolf]

Nahmd,

@kellerma

Hier geht es darum, aus einer “Punktwolke” (wiederholte Messung ein und desselben Sachverhaltes) einen Messpunkt zu ermitteln,
Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Das ist vollkommen korrekt.

Gruß Wolf

[chris66]

Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Und wenn man DOP-gewichtet? Also z.B. Messwerte mit DOP < x doppelt zählt? Müsste trotzdem der Mittelwert
gleich bleiben, nur sich eben schneller approximieren, oder?

[kellerma]

@chris66

Unter der Annahme einer sog. Normalverteilung liefert das arithmetische Mittel den optimalen Schätzer.

Und wenn man DOP-gewichtet? Also z.B. Messwerte mit DOP < x doppelt zählt? Müsste trotzdem der Mittelwert
gleich blieben, nur sich eben schneller approximieren, oder?

Ja, die einzelnen Meßwerte kann man auch gewichten (nicht doppelt zählen). Der optimale Schätzer ist dann wiederum ein Mittelwiert,
der sog. gewichtete Mittelwert.

“schneller”: Mmmh, weiss nicht; die Ermittlung der Gewichtung (hier die DOP) bedarf ja auch “Aufwand”.
Ein Zitat eines Schachprogrammierers (Ed Schroeder) fällt mir hierzu ein:
“Randomness is a monster and you beat it by volume”

[MiaKai]

@Netzwolf

@MiaKai

Koordinaten der Festpu~nkte:

LATITUDE LONGITUDE
53,141798 8,199610

Differenz:
LATITUDE LONGITUDE
0,000001 0,000029

Die Koordinaten befinden sich im WSG_84 System und sind in Dezimalgrad angegeben.

Meine genaue Frage ist nun, da die Differenz in Dezimalgrad angegeben ist, wie erhalte ich eine Angabe in Meter?

Die Distanz in der Breite (Lat) verläuft auf einem Meridian: einem Kreis, der über beide Pole einmal um die Welt führt. Einmal im Kreis herum sind 360°, einmal um die Welt sind ca. 40.000km, also 40.000.000m.

360° ~ 40.000.000m.
  1° ~ 40.000.000m / 360
  x° ~ x * 40.000.000 / 360 = x * 111.111
→
   Dein Y-Abstand ist 111.111m * 0.000001 = 0.1 = 10cm

Die Distanz in der Länge führt auf einem Kleinkreis auf konstantem Abstand zum Äquator um die Erde. Der Weg über den Äquator um die Erde ist so groß wie der über Pole und Meridian (die Abplattung der Erde interessiert bei der hier geforderten Genauigkeit nicht), also 1°~ 40.000.000m / 360 = 111.111m.
Zu den Polen hin werden die Kleinkreise aber kleiner (sieht man unmittelbar, wenn man sich einen Globus vorstellt). Der Faktor ist der Cosinus der Breite:

360° ~ 40.000.000m * cosφ
  1° ~ 40.000.000m / 360 * cosφ
  x° ~ x * 40.000.000 / 360 = x * 111.111 * cosφ
→
  Dein X-Abstand ist 111.111m * 0.000029 * cos 53.1° = 3.22m * cos53.1° = 3.22m * 0.600 = 1.93m

Achtung beim Berechnen des Cosinus: den Winkel kann man in Grad(DEG) oder im Bogenmaß(RAD) angeben. Taschenrechner sind meist umschaltbar. Die meisten Programmiersprachen fordern das Bogenmaß. Dem Winkel 180° entspricht das Bogenmaß π (Pi: 3.1415926…).

Der Gesamtabstand wird anschließend über den Pythagoras berechnet: c²=a²+b² → c=√(a²+b²)

Programmiert wird also etwa so:

abstand (deltaLat, deltaLon, lat) {

     deltaY = 111111 * deltaLat;
     deltaX = 111111 * deltaLon * cos (lat * 3.1415926 / 180.0)

     delta = sqrt (deltaX * deltaX + deltaY * deltaY)
     return delta;
}

Dieser Rechenweg ist der Anschaulichste und bei kleinen Entfernungen genau. Mit nur wenig mehr Aufwand (aber deutlich unanschaulicher durch mehrfache Verwendung von Winkelfunktionen) bekommt man eine Funktion, die bei Vernachlässigung der Erdabplattung quer um die ganze Welt weit unter 1% Fehler liefert. Für wirklich exakte Werte gibt es leider keine geschlossene Darstellung mehr; die brauchen Iterationsverfahren oder Reihenentwicklungen.

Gruß Wolf

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite? Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Danke und Grüße,
Mia

[Netzwolf]

Nahmd,

@MiaKai

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite?

Teils Schulmathematik, teils irgendwo gelesen.

Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Ist Wikipedia zitierfähig? Dann nimm die Artikel zu:

http://de.wikipedia.org/wiki/Bogenma%C3%9F
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel
http://de.wikipedia.org/wiki/Gro%C3%9Fkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Meridian_%28Geographie%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Kleinkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Breitenkreis
http://de.wikipedia.org/wiki/Pythagoras#Mathematik

Gruß Wolf

[EvanE]

@MiaKai

Ich habe nun doch noch einmal eine Frage. Woher hast du die Informationen, hast du die evtl. aus einem Buch oder von irgendeiner Internetseite? Wenn dies so sein sollte, könntest du mir das Buch nennen bzw. die Internetseite. Ich müsste nämlich zitieren, woher ich die Informationen zu dem Rechenweg habe.

Hallo Mia

Vielleicht kannst du bei http://www.kowoma.de/gps/ im Bereich “Geodäsie & Karten” fündig werden.
Inwieweit (diese) Webseiten für deine Aufgabe zitierfähig ist, kannst nur du beurteilen.

Edbert (EvanE)

[maxbe (Max)]

Immer diese Zitiererei

Könnte ein bisschen kauzig rüberkommen und die Laune des Prüfers in irgendeiner Form verändern… Aber da hättest mal nen echt alten Schinken, gegen den kein Mathelehrer ankommt:

Leonard Euler, Drei Abhandlungen über Kartenprojection
Harausgegeben von A. Wangerin, Verlag W. Engelmann, Leipzig 1898.
zuerst erschienen in Acta Academiae Scientiarum Petropolitanae, Petersburg 1777
§3, Seite 6f

Grüße,

Max, den es immer betrübt, dass er mit dem grössten Teil seines wirklich kapierten Matheverständnisses irgendwann im 18. Jahrhundert landet…

[Oli-Wan]

@Netzwolf

Ist Wikipedia zitierfähig?

Nee, aber “das hab ich vom Netzwolf” sollte wohl reichen.