Je možné použít legálně OpenStreetMap API pro vytažení dat do mého vlastního projektu?
Určitě ano
Akorát pokud budou data někde zobrazena, mělo by se poblíž nacházet něco jako “Map data (c) OpenStreetMap.org and contributors”. Pokud z nich bude pouze něco počítáno, stačí uvést někde ve zdrojích.
A pokud mluvíš přímo o “OsmAPI”, tak pro stahování se nemá používat. K tomu slouží výkonnější a flexibilnější OverpassAPI - viz wiki